OS SEIS NÚMEROS ESPECIAIS PARA A MATEMÁTICA
OS SEIS NÚMEROS ESPECIAIS PARA A MATEMÁTICA
Celso Luis Levada
Miriam de Magalhães Oliveira Levada
Ana Laura Remédio Zeni Beretta
Grupo de Estudos em Ciências da Uniararas.
RESUMO
Existem alguns números especiais . O mais famoso deles é o número Pi (?). Menos conhecido que o Pi é outro número, o Fi (?), depois vem o número de Neper, o número complexo, seguidos pelos números naturais zero e um. Existem uma equação matemática que relaciona todos esses números com uma forma simples.
Palavras chaves : números, Pi, Fi, Neper
ABSTRACT
here are some special issues. The most famous one is the number Pi (?). Less known than pi is another number, phi (?), then comes the number of Neper, the complex number, followed by natural numbers zero and one. There are a mathematical equation that relates all these numbers with a simple way.
INTRODUÇÃO
Na Matemática não existem apenas propriedades, fórmulas e regras, existem alguns números especiais. O conceito de número na sua forma mais simples é abstrata e intuitiva; entretanto, foi objeto de estudo de diversos pensadores. Pitágoras, por exemplo, considerava o número a essência e o princípio de todas as coisas; para Schopenhauer o conceito numérico apresenta-se "como a ciência do tempo puro".
O NUMERO ZERO
Na teoria dos números a função do zero também é um conceito especial. O símbolo “0” e o nome zero estão relacionados à idéia de nenhum, não existente, nulo e até mesmo vazio. Trata-se de conceito que foi muito estudado ao longo dos séculos, despertando várias manifestações.
Hoje, não desperta tanta curiosidade, apesar de ser absolutamente instigante. “O ponto principal é o fato de o zero ser e não ser. Ao mesmo tempo indicar o nada e trazer embutido em si algum conteúdo”. A cultura indiana antiga já trazia uma noção de vazio bem antes do conceito matemático de zero. Segundo MARTINS, “Num dicionário de sânscrito, você encontra uma explicação bastante detalhada sobre o termo indiano para o zero, que é shúnya que, como adjetivo, significa vazio, deserto, estéril”. O termo descreve um sentimento de ausência, a falta de algo, uma ação sem resultados. Como substantivo, shúnya refere-se ao nada, ao vácuo, à inexistência. A partir do século VIII d.C., os árabes levaram para a Europa, junto com os outros algarismos, tanto o símbolo que os indianos haviam criado para o zero quanto a própria idéia de vazio, nulo, não-existente. E difundiram o termo shúnya que, em árabe, se tornou shifr e foi latinizado para zephirum, depois zéfiro, zefro e, por fim, zero (VOMERO, 2001). O sistema de numeração dos Maias era composto por pontos e traços, que indicavam unidades e dezenas. Tinham duas notações para o zero. A primeira era uma elipse fechada que lembrava um olho. Servia para compor os números. A segunda notação, simbólica, remetia a um dos calendários dos maias. O conceito do vazio era tão significativo entre eles que havia uma divindade específica para o zero: era o deus Zero, o deus da Morte. KARNAL (Apud VOMERO 2001) afirma que os maias foram os inventores desse número no continente americano. A partir deles, outros grupos, como os astecas, conheceram o princípio do zero. E os gregos, o que pensavam a respeito do zero? Nada. Apesar dos avanços na geometria e na lógica, os gregos jamais conceberam uma representação do vazio. Não fazia sentido existir vazio num mundo tão bem organizado e lógico seria o caos, um fator de desordem. Aristóteles chegou a dizer que a natureza tinha horror ao vácuo. Os babilônios, que viveram na Mesopotâmia, onde hoje é o Iraque, por volta do ano 2500 a.C., foram os primeiros a chegar a uma noção de zero. Pioneiros na arte de calcular, criaram o que hoje se chama de “sistema de numeração posicional”. Apesar do nome comprido, a idéia é simples. Apesar de ser atraente, o zero não foi recebido de braços abertos pela Europa, quando apareceu por lá. KAPLAN (2001), no livro O Nada que Existe diz : “É surpreendente ver quanta resistência a noção de zero encontrou: o medo do novo e do desconhecido, superstições sobre o nada relacionado ao diabo, uma relutância em pensar”. O receio diante do zero vem desde a Idade Média. Os povos medievais o ignoravam solenemente. Talvez o zero assuste porque carrega com ele outro paradigma: o de um nada que existe efetivamente. Há quem diga que o zero é parente do infinito, outra abstração que mudou as bases do pensamento científico, religioso e filosófico. Eles são equivalentes e opostos, yin e yang.
ATRIBUTOS RELACIONADOS AO NÚMERO UM
Conforme informa WEIL (2011), Pitágoras foi matemático e estudioso de Geometria, mas considerava o número matemático somente um traço externo de um elemento muito mais profundo, o Número Sagrado. Em seus escritos ele comenta: Todas as coisas são números. Com isso ,ele mostra o Número como um Princípio Universal e Divino, fonte de toda a realidade. Uno a partir da visão de Pitágoras pode ser expresso como o princípio de todas as coisas, o mais dominante de tudo o que é. Trata-se de algo em que todas as coisas emanam dele, e ele não emana de nada. Ele é indivisível e todo-poderoso; ele é imutável, e nunca se afasta de sua própria natureza através da multiplicação indicada em 1 x 1 =1. Tudo o que é inteligível e ainda não criado existe nele: a natureza das Idéias, Deus Ele mesmo, a Alma, o Belo e o Bom, e toda essência inteligível, como a Beleza em si, a Justiça, a Igualdade, pois concebemos cada uma destas coisas como sendo Uma e existindo em Si mesma (WEIL 2011). Pitágoras afirma ainda: ......”Pode-se ver a natureza do número e sua potência em atividade, não só nas coisas sobrenaturais e divinas, mas ainda em todos os atos e palavras humanos, em qualquer parte, em todas as produções técnicas e na música”. Pitágoras, continua WEIL, elaborou um método em que utilizava os Números para representar qualidades e idéias abstratas. Acreditava que uma mente purificada podia entrar em contato com esse conhecimento simbólico e divino contido nos Números. Nas Escolas de Conhecimento que fundou, Pitágoras desenvolveu, não só uma teoria de conhecimento sobre os Números, mas também um sistema de vida, com rituais de purificação e iniciações, que preparasse seus discípulos para se colocarem em harmonia com os Números e compreende-los. Os pitagóricos estudavam, não só a Matemática, mas também a Geometria, pois tentavam representar essa ordem cósmica através de diagramas geométricos. O número 1 é o primeiro dos números, é o início, é o único, é o absoluto. Está ligado com a originalidade, o poder, à masculinidade e à objetividade. Na numerologia tem associação com uma pessoa independente, pioneira e criativa que são líderes natos em tudo. Muito autoconfiante, tem êxito em tudo que faz. Significa liderança e ambição. Também é o número que traz coragem, independência, atividades mentais e físicas, individualidade e realizações. Na Estatística, quanto mais próxima de 1 seja a probabilidade de um evento, mais provável é que o evento ocorra, e um evento certo de acontecer tem uma probabilidade de 1.
O NÚMERO IMAGINÁRIO
É difícil imaginar que haja algum número que seja a raiz quadrada de -1. Como tal, é tentador acreditar que o número i não existe, que é só uma conveniente ficção matemática. No entanto, números imaginários existem. Será que existe um conjunto, onde número tenha um significado completamente diferente daquele que conheço e onde exista a raiz de -1? A resposta a esta questão chama-se Conjunto dos Números Complexos. A construção dos números complexos passou por diversos obstáculos, que levaram em média 300 anos para serem vencidos, desenvolvendo, assim, teorias referentes a esse conjunto numérico. Para OLIVEIRA (2011), historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano. Este famoso cientista mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau dada por x2- 10x +40 = 0. Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os matemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss. O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos.
O NÚMERO DE NEPER
Atribui-se a John Napier a descoberta do número de Neper. Trata-se de um número irracional e transcendente que representamos pelo símbolo, e, que é dado pelo seguinte símbolo e = 2,7182818284590452353602874... Pelas suas propriedades particulares, o número e tem sido usado como base de logaritmos privilegiada em Matemática Superior, embora a base 10 seja a mais usada em aplicações práticas. Conforme RIBEIRO et al (2011), a base de logaritmos inventada por Neper, fazia intervir o número e, chamado "número de Neper" e os logaritmos de base e logaritmos "neperianos" ou "naturais". A função exponencial ex, cuja base é o número de Neper modela fenômenos de importância vital, nos mais variados campos da ciência: físico-químicas, biologias, econômicas, agronômicas, geográficas, médicas, sociais. Quem efetivamente calculou o número e foi Leonhard Euler, e dizem que a designação decorre da inicial de seu sobrenome, mas também existe a versão de que o e se deva à inicial de “exponencial”. Euler conseguiu mostrar uma correlação entre interessante entre números especiais, isto é, conseguiu demonstrar que ei? + 1= 0 (CARLA SOFIA et al 2011).
O NÚMERO PI
O mais famoso dos números é Pi (?), que é a razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, tendo valor igual a 3,14159…. Pi representa um número, que não pode ser escrito sob forma de fração, é um número irracional. Para maiores detalhes sobre os números irracionais, especialmente o número Pi, consulte os artigos de CARVALHO E SILVA (2011). Uma das primeiras tentativas de estimar o valor de “pi”, encontra-se no Papiro de Rhind escrito, aproximadamente, em 1700 a.C., onde se lê: “a área de um círculo é igual a de um quadrado cujo o lado é o diâmetro de circulo diminuindo de sua nona parte”. O início dos estudos do valor de pi, pelos egípcios, data aproximadamente de 1500 a.C., a partir de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media 9 unidades. Os autores estimaram o quociente entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência. De acordo com FIRMINO et al (2001), Arquimedes, no século III a.C., também se propôs a avaliar o valor de pi mas a partir de um hexágono regular. Arquimedes calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados. Calculando o perímetro desse polígono de 96 lados, conseguiu para pi um valor entre 3,1408 e 3,1428. Os chineses também ficaram entusiasmados pela descoberta do valor exato de pi. Liu Hui, conseguiu obter o valor de 3,14159, a partir de um polígono de 3 072 lados. Até o século XV, o melhor valor para pi havia sido encontrado pelo matemático árabe Al-Kashi: 3,1415926534897932. No século XX, os computadores calcularam o valor de pi com 100, 1000, 10 000, milhões de casas decimais.
O NÚMERO FI
Em seu livro Razão áurea, LÍVIO ( 2006) escreve : “Menos conhecido que o Pi é outro número, o Fi (?), que, em muitos aspectos, é ainda mais fascinante”. O que o arranjo de pétalas numa rosa vermelha, o quadro “Sacramento da Última Ceia”, as magníficas conchas espirais de moluscos e a procriação de coelhos têm em comum? , prossegue LIVIO em outro trecho de seu livro. Todos esses exemplos bem díspares têm em comum certo número, ou proporção geométrica, conhecido desde a Antiguidade, por “Número Áureo”, “Razão Áurea” e “Seção Áurea”, cujo valor aproximado é 1,618. O valor exato da Razão Áurea é o número que nunca termina e nunca se repete 1,6180339887…,
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O matemático Leonhard Euler conseguiu mostrar uma correlação entre interessante entre números especiais, isto é, conseguiu demonstrar que a veracidade da equação ei? + 1= 0. Seu desenvolvimento revela a conexão entre funções trigonométricas e a função exponencial e nunca teria sido descoberta sem o uso de números complexos.Além disso esta célebre igualdade que contém os 5 números mais significativos da Matemática, é elegante, concisa e cheia de significação, e interessa tanto ao místico quanto ao cientista, ao filósofo, ao matemático. Pois bem, introduzindo uma constante na equação de Euler, chega-se a expressão dada por ei?+0,481 +1,618 ? 0 que reúne todos estes números especiais mencionados, incluindo a razão áurea.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CARLA SOFIA et al 2011, Números irracionais, texto disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/numeroe.htm, acessado em 27/12/2011
CARVALHO E SILVA, J. NONIUS, Arquivo Eletrônico de Matemática, disponível em http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/index.html, acessado em 30/12/2011
FIRMINO, A. et al, O número pi, Escola E.B. 2.3 Quinta de Marrocos, 2001, disponível em http://web.educom.pt/~pr2003/2001/matematica/mi9/pi.pdf, acessado em 20/12/2011
KAPLAN, R. O Nada que Existe – Uma História Natural do Zero, Editora Rocco, Rio de Janeiro, 2001.
LÍVIO, M. Razão Áurea, Editora Record , 336p, 2a. edição, Rio de Janeiro 2006
OLIVEIRA, G.A. Origem dos números complexos, Equipe Brasil Escola, disponível no site http://www.brasilescola.com/matematica/complexos.htm, acessado em 23/01/2011.
RIBEIRO, A. et al, Logaritmo Natural, texto disponível no site http://www.fund198.ufba.br/expo/log.pdf, acessado em 30/12/2011
VOMERO, M.F. A importância do número zero, revista superinteressante, Abril de 2001
WEIL,S. Pitágoras e os números sagrados, texto disponível no site http://somostodosum.ig.com.br/conteudo/conteudo.asp?id=2098, acessado em 29/12/2011