Da Superfície ao Espaço: Práticas Didáticas para o Ensino de Figuras Planas e Sólidos Geométricos, Unindo Teoria e Metodologias Ativas.

                                                                                                                                  Ivan Carlos Zampin;

                                                                                                                                  Elza Maria Simões;

 

Resumo

Este trabalho apresenta uma análise aprofundada e propostas práticas para o ensino de cálculos envolvendo figuras planas e sólidos geométricos, articulando a Teoria da Aprendizagem Significativa (Ausubel) e o Modelo de Van Hiele com as metodologias ativas propostas por Olivieri e Zampin (2024). Parte-se da premissa de que o ensino eficaz da geometria requer a articulação entre ancoragem nos saberes prévios dos alunos, progressão consciente dos níveis de abstração e o engajamento ativo dos estudantes por meio de atividades investigativas, projetos e tecnologias digitais. A proposta inclui sequências didáticas, atividades concretas e ferramentas avaliativas que visam promover a compreensão de perímetro, área e volume, a transição do plano para o espaço e o desenvolvimento do pensamento espacial. Conclui-se que práticas que combinam manipulação, contextualização e avaliação formativa favorecem a aprendizagem significativa e ampliam a aplicabilidade da geometria em contextos reais.

Palavras-chave: Educação Matemática; Geometria; Aprendizagem Significativa; Metodologias Ativas; Figuras Planas; Sólidos Geométricos.

1. Introdução

A geometria ocupa lugar central no currículo escolar por sua capacidade de articular raciocínio lógico, visualização espacial e resolução de problemas práticos. Conceitos como perímetro, área e volume estão presentes em situações cotidianas (arquitetura, construção, embalagens, jardinagem) e constituem competências importantes para a formação cidadã e profissional. Contudo, o ensino tradicional frequentemente prioriza memorização de fórmulas e procedimentos algorítmicos, desconsiderando a necessidade de progressão cognitiva e de contextualização dos conceitos. Tal abordagem contribui para bloqueios conceituais e desinteresse dos estudantes.

O presente trabalho defende que, para promover uma aprendizagem sólida, é necessário: (a) ancorar novos conteúdos nos saberes prévios dos alunos (Ausubel); (b) planejar ações que respeitem a progressão de níveis do pensamento geométrico (van Hiele); e (c) implementar metodologias ativas que coloquem o estudante em posição de agente da investigação (Olivieri e Zampin, 2024). A partir dessa tríade, propõe-se um conjunto de práticas didáticas, sequências de ensino e instrumentos avaliativos destinados a favorecer a transição da superfície (2D) para o espaço (3D), com ênfase no cálculo de perímetro, área e volume.

2. Referencial Teórico

2.1 Aprendizagem Significativa (Ausubel)

Ausubel enfatiza que o novo conhecimento se torna significativo quando conectado a estruturas cognitivas já existentes no aprendiz. No contexto da geometria, isso implica iniciar pela identificação de formas em contextos reais e pela construção progressiva de conceitos a partir de experiências concretas. Em sala de aula, práticas de ancoragem e ativação de saberes prévios por exemplo, mapeamentos do entorno escolar ou relatos de objetos domésticos constituem etapas fundamentais para a assimilação de conceitos geométricos.

2.2 Modelo van Hiele

O modelo descreve cinco níveis de raciocínio geométrico:

Visualização (Nível 1): reconhecimento das figuras pelo aspecto global, sem análise de propriedades.

Análise (Nível 2): identificação das propriedades das figuras, mas sem perceber as relações entre elas.

Ordenação ou Dedução Informal (Nível 3): compreensão das relações entre propriedades e hierarquias, permitindo deduções simples.

Dedução Formal (Nível 4): capacidade de raciocinar dentro de um sistema axiomático, elaborar demonstrações e compreender teoremas.

Rigor (Nível 5): abstração máxima, habilidade de comparar sistemas geométricos distintos e lidar com conceitos matemáticos avançados.

Falhas na aprendizagem costumam ocorrer quando há desalinhamento entre a exigência epistemológica da proposta e o nível real de compreensão dos estudantes.

2.3 Metodologias Ativas (Olivieri e Zampin, 2024)

As metodologias ativas reposicionam o estudante como protagonista do processo de aprendizagem. Estratégias como Aprendizagem Baseada em Problemas (ABP), sala de aula invertida, gamificação, projetos interdisciplinares e uso de tecnologias promovem investigação, colaboração e reflexão. O professor torna-se mediador e avaliador formativo, oferecendo feedback contínuo e ajustando a sequência didática conforme as necessidades do grupo.

3. Desenvolvimento: Proposições Metodológicas

A seguir são apresentadas propostas práticas, organizadas por eixos temáticos (figuras planas, medidas de superfície e sólidos), seguidas de sequências de atividades e orientações avaliativas.

3.1 Figuras Planas — da identificação ao cálculo significativo de perímetro e área

Objetivo geral: promover o reconhecimento, a descrição e o cálculo de perímetro e área por meio de atividades concretas e contextualizadas.

Atividades iniciais (van Hiele Níveis 1–2):

Caça às Formas: os alunos identificam e fotografam formas no ambiente escolar e em casa; registram usos e propriedades observadas.

Geoplano e Tangram: manipulação para formar polígonos, permitindo exploração de simetria, decomposição e equivalência de áreas.

Jogos de classificação: ordenar cartas segundo propriedades (número de lados, presença de ângulos retos, concavidade/convexidade).

Construção do conceito de perímetro e área (van Hiele Níveis 2–3):

Perímetro: contornar figuras com barbante ou fita métrica; transformar o contorno em medida numérica. Problemas práticos: “Quantos metros de cercado precisamos para isolar um canteiro?”

Área: recobrimento com unidades não padronizadas (tampinhas, folhas) e, em seguida, com unidades padronizadas (quadrados 1 cm²). A formulação é apresentada como generalização das contagens.

Na apresentação para (van Hiele Níveis Níveis 3–4): Da Dedução Informal para a Formal. O foco é fazer com que os alunos explorem propriedades e estruturarem seu raciocínio lógico por meio de:

Investigação e Conjectura: Observar figuras geométricas, formular propriedades e deduzir relações (ex.: "Se um quadrilátero tem todos os lados iguais e todos os ângulos retos, então é um quadrado").

Construção de Definições: Descrever figuras com suas próprias palavras, reformular definições e justificar suas escolhas.

Cadeia de Deduções: Justificar propriedades de maneira informal (ex.: em um triângulo com dois lados iguais, os ângulos opostos a esses lados também são iguais) e depois tentar construir uma justificativa mais formal.

Uso de Softwares: Utilizar ferramentas como o GeoGebra para manipular figuras, testar hipóteses e confirmar conjecturas.

Em próxima etapa do processo as condições que se apresentam para (van Hiele Níveis 4–5): Da Dedução Formal para o Rigor, a ênfase muda para a demonstração axiomática e o rigor matemático, ou seja:

Construção de Demonstrações Formais: Desenvolver provas rigorosas usando postulados e definições (ex.: demonstrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º).

Sequência Lógica Axiomática: Derivar teoremas a partir de um sistema de axiomas (como os de Euclides) e analisar a dependência lógica entre os conceitos.

Comparação entre Sistemas Geométricos: Analisar as diferenças entre geometrias (ex.: Euclidiana versus hiperbólica, onde a soma dos ângulos de um triângulo é menor que 180º) para entender o impacto dos postulados.

Rigor Conceitual: Formalizar definições, diferenciar condições necessárias e suficientes, e usar métodos como a demonstração indireta.

Estratégias ativas aplicadas:

Aprendizagem Baseada em Problemas (ABP): projeto de cálculo de revestimento de um corredor da escola grupos medem, calculam quantidade de piso e elaboram orçamento.

Sala invertida: vídeos curtos com definições e demonstrações em casa; em sala, atividades práticas e discussão.

Gamificação: criação de desafios por equipes em que pontos são ganhos por resolver problemas de área/perímetro com justificativas claras.

Sugestão de mediação pedagógica: o professor registra erros conceituais recorrentes e planeja mini atividades de remediação; utiliza representações múltiplas (gráfico, manipulação, desenho) para consolidar a compreensão.

3.2 Sólidos Geométricos — da planificação à mensuração de volume e área de superfície

Objetivo geral: desenvolver a capacidade de reconhecer, planificar e calcular volumes e áreas de superfície de prismas, cilindros, pirâmides e esferas, articulando atividades concretas e projetos interdisciplinares.

Atividades de introdução (van Hiele Níveis 1–2):

Coleção de embalagens: identificação e classificação de sólidos (prismas, cilindros, pirâmides). Reflexão sobre usos cotidianos e materiais.

Caixa misteriosa: identificação tátil e descrição de faces, arestas e vértices para consolidar vocabulário geométrico.

Construção do conceito de volume e área de superfície (van Hiele Níveis 2–3):

Volume por deslocamento: uso de água ou areia para medir capacidade de recipientes; comparação entre capacidade (litros) e volume geométrico em unidades cúbicas.

Planificações: recortar e montar planificações em cartolina; discutir como cada face contribui para a superfície total.

Estabelecimento de fórmulas (van Hiele Níveis 3–4): apresentar como síntese de observações empíricas.

Projeto interdisciplinar (metodologia ativa) (van Hiele Níveis 4–5): Minha Casa Sustentável: grupos desenham maquetes, calculam áreas de pintura, volume de caixas d’água e propõem soluções econômicas e sustentáveis. Integração com Ciências (eficiência energética, materiais) e Artes (maquete, maquete estética).

3.3 Integração de tecnologias, gamificação e avaliação formativa

Tecnologias dinâmicas: GeoGebra (2D/3D): demonstrações interativas para manipular parâmetros, visualizar planificações e estimar áreas/volumes.

Simuladores e apps móveis: medição virtual, cálculo automático e verificação de hipóteses.

Gamificação e plataformas de revisão: Kahoot / Quizizz: revisão diagnóstica e motivacional.

Missões sequenciais: conjunto de tarefas com níveis progressivos que culminam em projeto final.

Avaliação formativa: Rubricas claras para avaliar justificações, procedimentos, precisão e trabalho colaborativo.

Portfólios de aprendizagem (evidências: fotos, registros de cálculos, planificações, reflexões individuais).

Autoavaliação e coavaliação como instrumentos que promovem metacognição.

3.4. Integração com a BNCC: Competências e Habilidades no Ensino de Geometria

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC), aprovada em 2018, estabelece diretrizes para o desenvolvimento de competências e habilidades que devem nortear a prática docente em todas as etapas da Educação Básica. No campo da Matemática, a BNCC enfatiza a importância de uma aprendizagem significativa, que conecte conceitos a situações práticas e fomente o raciocínio lógico, a resolução de problemas e a autonomia intelectual dos estudantes.

Competências Gerais da BNCC diretamente relacionadas:

Competência 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem científica, inclusive matemática, para investigar causas, elaborar hipóteses e resolver problemas.

Competência 6: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais, aplicando-os na leitura e compreensão de contextos.

Competência 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, utilizando representações matemáticas para fundamentar raciocínios.

Habilidades de Matemática para o Ensino Fundamental (Anos Finais):

EF06MA20: Reconhecer, nomear e comparar polígonos e sólidos geométricos em diferentes situações do cotidiano.

EF06MA22: Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da área de figuras planas (quadrado, retângulo, triângulo, trapézio e círculo).

EF07MA24: Resolver problemas que envolvam o cálculo do volume de prismas, cilindros e pirâmides, em contextos significativos.

EF07MA25: Resolver problemas que envolvam a área da superfície de prismas e cilindros.

Aplicações práticas articuladas às habilidades da BNCC:

Nas aulas de área e perímetro de figuras planas, pode-se propor a atividade “Projeto de Paisagismo Escolar”, em que os alunos calculam a quantidade de grama necessária para cobrir o jardim da escola (EF06MA22), conectando a matemática ao espaço vivido.

Ao trabalhar o volume de sólidos geométricos, atividades como o cálculo da capacidade de caixas d’água ou recipientes utilizados no dia a dia da comunidade permitem o desenvolvimento da habilidade EF07MA24, mostrando a funcionalidade da geometria.

Projetos interdisciplinares, como a construção de uma maquete sustentável, integram matemática, ciências e artes. Nesse caso, os alunos calculam área de superfícies (para pintura ou revestimento), volume de ambientes (para climatização) e relacionam os dados a práticas ambientais responsáveis, atendendo tanto às competências gerais quanto às habilidades EF07MA24 e EF07MA25.

O uso de tecnologias digitais, como softwares de geometria dinâmica (GeoGebra), reforça a competência 2 da BNCC, estimulando a investigação, o teste de hipóteses e a simulação de diferentes cenários geométricos.

Portanto, ao alinhar o ensino de figuras planas e sólidos geométricos às competências e habilidades da BNCC, o professor garante não apenas a conformidade com as orientações nacionais, mas também a construção de um aprendizado efetivo, contextualizado e interdisciplinar, em sintonia com os princípios das metodologias ativas.

4. Sequência Didática (esboço de 6 aulas)

A seguir, uma sequência didática exemplificativa para uma turma do ensino fundamental II (6 aulas de 50–60 minutos):

Aula 1 — Reconhecimento e registro (Objetivo: nivelar o reconhecimento visual)

Materiais: smartphones/câmeras, folhas sulfite, canetas.

Procedimento: "Caça às Formas" no entorno escolar; registro fotográfico; discussão em grupo sobre propriedades visuais.

Avaliação: portfólio inicial com imagens e breve descrição.

Aula 2 — Geoplano e tangram (Objetivo: explorar decomposição e equivalência de áreas)

Materiais: geoplano, tangram, papéis quadriculados.

Procedimento: construir figuras, calcular áreas por contagem e comparar decomposições.

Avaliação: atividades resolvidas em duplas.

Aula 3 — Perímetro e contexto real (Objetivo: aplicar perímetro em situação prática)

Materiais: fita métrica, barbante.

Procedimento: medir um espaço real (canteiro/quadra), calcular perímetro e estimar custo de cerca.

Avaliação: relatório de grupo com justificativas.

Aula 4 — Conceito de área e generalização (Objetivo: formalizar fórmulas)

Materiais: folhas quadriculadas, réguas.

Procedimento: recobrimento com unidades de 1 cm²; passagem para a fórmula do retângulo.

Avaliação: problemas individuais e correção formativa em sala.

Aula 5 — Sólidos e planificações (Objetivo: montar sólidos a partir de planificações)

Materiais: cartolina, tesoura, cola.

Procedimento: montar prismas e pirâmides a partir de planificações; relacionar faces com a superfície.

Avaliação: exposição das maquetes e explicação oral.

Aula 6 — Projeto final (Objetivo: integrar área, perímetro e volume)

Materiais: materiais variados, aplicativo de desenho/GeoGebra.

Procedimento: apresentação do projeto "Minha Casa Sustentável"; grupos apresentam cálculos e justificativas.

Avaliação: rubrica que considera precisão matemática, aplicação contextualizada dos conteúdos.

Conclusão

A presente investigação evidenciou que o ensino de figuras planas e sólidos geométricos, quando articulado à Teoria da Aprendizagem Significativa (Ausubel), ao Modelo de van Hiele e às metodologias ativas contemporâneas, torna-se um campo fértil para a promoção de aprendizagens profundas, contextualizadas e duradouras. A geometria, tradicionalmente percebida pelos alunos como um conjunto de fórmulas desprovidas de sentido, assume uma nova dimensão quando é apresentada de forma progressiva, respeitando os níveis cognitivos dos estudantes e promovendo uma conexão direta com situações reais do cotidiano.

O uso da aprendizagem significativa permitiu compreender que a ancoragem nos saberes prévios constitui um ponto de partida essencial para a construção conceitual. Ao identificar figuras no entorno, ao relacionar formas geométricas com objetos do dia a dia ou ao trabalhar a medição em contextos reais, o aluno atribui sentido ao novo conhecimento, que deixa de ser uma abstração distante para se tornar um recurso aplicável. Esse processo confirma a centralidade da teoria ausubeliana na prática docente, mostrando que sem a conexão com estruturas cognitivas já estabelecidas, a matemática tende a ser decorada e rapidamente esquecida.

Do mesmo modo, o modelo de van Hiele demonstrou sua relevância para o planejamento didático, pois ao compreender os níveis de raciocínio geométrico, o professor consegue propor desafios adequados, evitando tanto a simplificação excessiva quanto a exigência precoce de abstrações que o estudante ainda não está preparado para elaborar. As práticas relatadas, desde a identificação visual até a dedução formal, reforçam que a progressão do pensamento geométrico deve ser intencional e cuidadosamente mediada.

As metodologias ativas, por sua vez, configuraram-se como o eixo dinamizador da proposta pedagógica. Ao colocar o estudante em posição de protagonista, as estratégias de Aprendizagem Baseada em Problemas (ABP), projetos interdisciplinares, gamificação e sala de aula invertida ampliaram o engajamento, a motivação e a autonomia dos aprendizes. A gamificação, especialmente, mostrou-se eficaz para promover desafios coletivos e colaborativos, enquanto a integração de tecnologias digitais, como o GeoGebra, trouxe a possibilidade de manipulação dinâmica de conceitos, estimulando a exploração e a investigação.

As práticas didáticas sugeridas como a caça às formas, o uso do geoplano, a construção de planificações, os cálculos de perímetro e área em espaços reais e o projeto interdisciplinar “Minha Casa Sustentável” demonstraram que a matemática pode dialogar de forma criativa e produtiva com o mundo concreto. Tais propostas aproximam o ensino da vida dos estudantes, promovendo aprendizagens aplicáveis a contextos sociais, culturais e profissionais.

Outro aspecto de destaque refere-se à avaliação formativa, concebida como processo contínuo e reflexivo. A utilização de portfólios, rubricas, autoavaliações e coavaliações valoriza o percurso de aprendizagem e não apenas o resultado final, permitindo ao professor ajustar suas intervenções e aos alunos monitorarem seu próprio desenvolvimento. Esse olhar avaliativo rompe com práticas meramente classificatórias e reforça a ideia de avaliação como parte integrante do processo de aprender.

Neste sentido é visto que o ensino de figuras planas e sólidos geométricos deve ser pensado como um processo gradual, investigativo e participativo. A tríade teoria-prática-contextualização mostrou-se indispensável para transformar aulas tradicionalmente expositivas em experiências formativas ricas, nas quais o aluno não apenas compreende fórmulas, mas desenvolve raciocínio lógico, pensamento espacial, criatividade e criticidade.

Desta feita, a combinação de teorias clássicas da aprendizagem com metodologias inovadoras oferece um caminho promissor para ressignificar o ensino da geometria na Educação Básica. Essa integração contribui para formar cidadãos capazes de aplicar a matemática em múltiplos contextos, tomar decisões fundamentadas e reconhecer a geometria como uma ferramenta essencial para compreender e intervir na realidade. Dessa forma, reafirma-se que a prática pedagógica, quando sustentada por bases teóricas sólidas e estratégias ativas, é capaz de superar obstáculos históricos do ensino de matemática e inaugurar possibilidades mais significativas, democráticas e inclusivas de aprendizagem.

Referências Bibliográficas

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LORENZATO, Sérgio. O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas: Autores Associados, 2006.

OLIVIERI, C.; ZAMPIN, I. C.. A importância das aplicações das Metodologias Ativas em sala de aula. Revista Educação em Foco – Edição nº 16 – Ano: 2024.

SAVIANI, Dermeval. Escola e Democracia. Campinas: Autores Associados, 2008.

VAN HIELE, P. M. Structure and Insight: A Theory of Mathematics Education. Orlando: Academic Press, 1986.

 

 

Ivan Carlos Zampin: Professor Doutor, Pesquisador, Docente no Ensino Superior, Ensino Fundamental, Médio e Gestor Escolar.

Elza Maria Simões: Professora de Matemática, Matemática Financeira, Pedagoga, Especialista em Educação Especial.